2019 휘문고 2학년 1학기 중간고사 기하
기출문제·해설
휘문고등학교 2019학년도 1학기 중간고사 기하 전 문항(20문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 이차곡선 · 이차곡선과 직선
📍 서울 강남구📅 2019 · 1학기 중간고사∑ 기하📝 20문항 (객관식 17 · 서술형 3)
출제 단원
문제 미리보기 (2문항)
1번이차곡선타원의 초점하
타원 $3x^2+y^2-6x+6y-3=0$의 두 초점 중 제1사분면 위에 있는 초점의 좌표가 $(a,\ b)$일 때, $a+b$의 값은? (단, $a,\ b$는 상수이다.)
① $\sqrt{10}-3$
② $\sqrt{10}-2$
③ $\sqrt{10}-1$
④ $\sqrt{10}+1$
⑤ $\sqrt{10}+2$
정답 ② · 해설
Step 1. 표준형으로 바꾸기
$3(x-1)^2+(y+3)^2=15$이므로 $\frac{(x-1)^2}{5}+\frac{(y+3)^2}{15}=1$이다.
Step 2. 초점 구하기
장축이 $y$축에 평행하고 $c^2=15-5=10$이므로 초점은 $(1,\ -3\pm\sqrt{10})$이다. $\sqrt{10}>3$이므로 제1사분면의 초점은 $(1,\ -3+\sqrt{10})$이다.
Step 3. 값 계산하기
$a+b=1-3+\sqrt{10}=\sqrt{10}-2$
따라서 정답은 ②이다.
2번이차곡선포물선의 활용하
자동차 전조등의 반사경을 축을 포함하는 평면으로 자른 단면은 그림과 같은 포물선이고, 그 초점의 위치에 전구가 있다. 이 포물선의 꼭짓점 $\mathrm{O}$와 초점 $\mathrm{F}$ 사이의 거리는 $4\mathrm{cm}$이고, 반사경의 폭 $\overline{\mathrm{AB}}$가 $24\mathrm{cm}$일 때, 반사경의 깊이 $\overline{\mathrm{OC}}$의 값은?
① $5\mathrm{cm}$
② $6\mathrm{cm}$
③ $7\mathrm{cm}$
④ $8\mathrm{cm}$
⑤ $9\mathrm{cm}$
정답 ⑤ · 해설
Step 1. 포물선의 방정식 세우기
$\mathrm{O}$를 원점, 축을 $x$축으로 놓으면 초점이 $(4,\ 0)$이므로 $y^2=16x$이다.
Step 2. 점 A의 좌표 이용하기
$\overline{\mathrm{AC}}=12$이므로 $\mathrm{A}(x,\ 12)$에서 $144=16x$, $x=9$이다.
따라서 정답은 ⑤이다.
문항 구성
| 1번 | 이차곡선 | 타원의 초점 | 하 | 객관식 |
| 2번 | 이차곡선 | 포물선의 활용 | 하 | 객관식 |
| 3번 | 이차곡선 | 타원의 방정식 | 하 | 객관식 |
| 4번 | 이차곡선과 직선 | 포물선의 접선 | 중 | 객관식 |
| 5번 | 이차곡선 | 포물선의 평행이동 | 하 | 객관식 |
| 6번 | 이차곡선 | 포물선의 방정식 | 중 | 객관식 |
| 7번 | 이차곡선과 직선 | 타원 밖의 점에서 접선 | 중 | 객관식 |
| 8번 | 이차곡선 | 포물선의 정의 | 중 | 객관식 |
| 9번 | 이차곡선 | 초점을 지나는 현 | 중 | 객관식 |
| 10번 | 이차곡선과 직선 | 타원과 직선의 거리 | 중 | 객관식 |
| 11번 | 이차곡선과 직선 | 기울기가 주어진 접선 | 상 | 객관식 |
| 12번 | 이차곡선과 직선 | 포물선의 접선 | 중 | 객관식 |
| 13번 | 이차곡선과 직선 | 포물선의 접선 | 중 | 객관식 |
| 14번 | 이차곡선 | 타원 위의 점 | 상 | 객관식 |
| 15번 | 이차곡선 | 타원과 원 | 상 | 객관식 |
| 16번 | 이차곡선 | 포물선의 정의 | 상 | 객관식 |
| 17번 | 이차곡선 | 타원의 이심률 | 상 | 객관식 |
| 18번 | 이차곡선과 직선 | 포물선과 직선의 위치 | 하 | 서술형 |
| 19번 | 이차곡선과 직선 | 수직인 두 접선 | 중 | 서술형 |
| 20번 | 이차곡선 | 타원의 정의 | 중 | 서술형 |