2020 휘문고 1학년 1학기 기말고사 공통수학1
기출문제·해설
휘문고등학교 2020학년도 1학기 기말고사 공통수학1 전 문항(20문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 여러 가지 방정식과 부등식 · 직선의 방정식 · 평면좌표 · 이차방정식과 이차함수
📍 서울 강남구📅 2020 · 1학기 기말고사∑ 공통수학1📝 20문항 (객관식 10 · 서술형 10)
문제 미리보기 (2문항)
1번나머지정리삼차방정식 공통근중
서로 다른 두 삼차방정식
$x^3-2x^2-6x-4k=0,\ x^3-2x^2-kx-24=0$의 공통인 실근 $\alpha$가 단 한 개만 존재할 때, $k-\alpha$의 값은? (단, $k$는 상수이다.)
① $-4$
② $-2$
③ $2$
④ $4$
⑤ $6$
정답 ② · 해설
Step 1. 두 식을 빼서 공통근의 조건 찾기
두 식을 변변 빼면 $(k-6)x-4k+24=0$, 즉 $(k-6)(x-4)=0$이다.
두 방정식이 서로 다르므로 $k\ne6$이고, 공통근은 $\alpha=4$이다.
Step 2. $k$의 값 구하기
$x=4$를 첫째 식에 대입하면 $64-32-24-4k=0$이므로 $k=2$이다.
이때 $x^3-2x^2-6x-8=(x-4)(x^2+2x+2)$, $x^3-2x^2-2x-24=(x-4)(x^2+2x+6)$이므로 공통인 실근은 $4$ 하나뿐이다.
Step 3. 값 계산
$k-\alpha=2-4=-2$
따라서 정답은 ②이다.
2번여러 가지 방정식과 부등식연립이차방정식중
$x,\,y$에 대한 연립방정식 $\begin{cases}x+y-k=0\\x^2+2y^2-4=0\end{cases}$ 이 오직 한 쌍의 해를 가질 때, $k^2$의 값은? (단, $k$는 상수이다.)
① $2$
② $3$
③ $4$
④ $5$
⑤ $6$
정답 ⑤ · 해설
Step 1. 한 문자 소거하기
$y=k-x$를 둘째 식에 대입하면 $x^2+2(k-x)^2-4=0$, 즉 $3x^2-4kx+2k^2-4=0$이다.
Step 2. 중근 조건 세우기
해가 한 쌍뿐이려면 이 이차방정식이 중근을 가져야 하므로
$\frac{D}{4}=4k^2-3(2k^2-4)=-2k^2+12=0$
Step 3. $k^2$ 구하기
$k^2=6$
따라서 정답은 ⑤이다.
문항 구성
| 1번 | 나머지정리 | 삼차방정식 공통근 | 중 | 객관식 |
| 2번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 연립이차방정식 | 중 | 객관식 |
| 3번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 연립일차부등식 | 상 | 객관식 |
| 4번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 절댓값 부등식 | 중 | 객관식 |
| 5번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 이차부등식 | 중 | 객관식 |
| 6번 | 평면좌표 | 거리의 합 최소 | 상 | 객관식 |
| 7번 | 평면좌표 | 내분점 | 하 | 객관식 |
| 8번 | 직선의 방정식 | 세 점이 한 직선 | 중 | 객관식 |
| 9번 | 직선의 방정식 | 수직이등분선 | 중 | 객관식 |
| 10번 | 직선의 방정식 | 점과 직선 거리 | 중 | 객관식 |
| 11번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 이차부등식 항상성립 | 중 | 서술형 |
| 12번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 복이차방정식 | 상 | 서술형 |
| 13번 | 평면좌표 | 각의 이등분선 | 상 | 서술형 |
| 14번 | 이차방정식과 이차함수 | 포물선과 넓이 | 상 | 서술형 |
| 15번 | 이차방정식과 이차함수 | 접선과 사다리꼴 | 상 | 서술형 |
| 16번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 이차부등식 정수해 | 중 | 서술형 |
| 17번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 절댓값 부등식 | 중 | 서술형 |
| 18번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 사차방정식 근 | 중 | 서술형 |
| 19번 | 복소수와 이차방정식 | 근의 부호 | 중 | 서술형 |
| 20번 | 직선의 방정식 | 평행선과 넓이 | 중 | 서술형 |