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2020 휘문고 2학년 2학기 기말고사 미적분Ⅰ
기출문제·해설

휘문고등학교 2020학년도 2학기 기말고사 미적분Ⅰ 전 문항(20문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 도함수의 활용 · 정적분의 활용 · 부정적분과 정적분 · 함수의 연속

📍 서울 강남구📅 2020 · 2학기 기말고사∑ 미적분Ⅰ📝 20문항 (객관식 10 · 서술형 10)

출제 단원

1번부정적분과 정적분부정적분하

$f'(x)=x^2+2x$, $f(0)=2$를 만족시키는 함수 $f(x)$에 대하여 $f(3)$의 값은?

① $17$

② $18$

③ $19$

④ $20$

⑤ $21$

정답 ④ · 해설

Step 1. $f(x)$ 구하기

$f(x)=\frac{1}{3}x^3+x^2+C$이고 $f(0)=2$이므로 $C=2$이다.

Step 2. $f(3)$ 계산하기

$f(3)=9+9+2=20$이다.

따라서 정답은 ④이다.

2번도함수의 활용평균값 정리하

함수 $f(x)=2x^3-6x^2+4x+4$에 대하여 닫힌구간 $[-1,3]$에서
$$f(3)=f(-1)+4f'(c)$$
를 만족시키는 실수 $c$의 값을 $\alpha$, $\beta$ (단, $\alpha<\beta$)라 하자. $\alpha\beta$의 값은?

① $-1$

② $-\frac{1}{2}$

③ $-\frac{1}{3}$

④ $\frac{1}{3}$

⑤ $\frac{1}{2}$

정답 ③ · 해설

Step 1. $f'(c)$의 값 구하기

$f(3)=16$, $f(-1)=-8$이므로 $16=-8+4f'(c)$에서 $f'(c)=6$이다.

Step 2. $c$에 대한 방정식 세우기

$f'(x)=6x^2-12x+4=6$에서 $3c^2-6c-1=0$이고, 두 근 $1\pm\frac{2}{\sqrt{3}}$은 모두 $[-1,3]$에 속한다.

Step 3. 곱 구하기

근과 계수의 관계에 의해 $\alpha\beta=-\frac{1}{3}$이다.

따라서 정답은 ③이다.

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