홈 › 학교별 기출 › 휘문고 › 2020 2학기 기말고사

2020 휘문고 2학년 2학기 기말고사 미적분Ⅱ
기출문제·해설

휘문고등학교 2020학년도 2학기 기말고사 미적분Ⅱ 전 문항(20문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 여러 가지 적분법 · 여러 가지 함수의 미분 · 정적분의 활용 · 수열의 극한

📍 서울 강남구📅 2020 · 2학기 기말고사∑ 미적분Ⅱ📝 20문항 (객관식 10 · 서술형 10)

출제 단원

1번수열의 극한극한의 성질하

두 수열 $\{a_n\}$, $\{b_n\}$에 대하여
$$\lim_{n\to\infty}(2a_n-b_n)=3,\ \lim_{n\to\infty}(a_n+b_n)=6$$
일 때, $\lim_{n\to\infty}a_nb_n$의 값은?

① $3$

② $6$

③ $8$

④ $9$

⑤ $12$

정답 ④ · 해설

Step 1. 각 수열의 극한값 구하기

$2a_n-b_n$과 $a_n+b_n$이 모두 수렴하므로 $a_n=\frac{(2a_n-b_n)+(a_n+b_n)}{3}$도 수렴하고 $\lim a_n=\frac{3+6}{3}=3$이다.

Step 2. 곱의 극한 구하기

$b_n=(a_n+b_n)-a_n$이므로 $\lim b_n=6-3=3$이고, $\lim a_nb_n=3\times3=9$이다.

따라서 정답은 ④이다.

2번급수등비급수중

등비수열 $\{a_n\}$에 대하여 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n=12$, $\sum_{n=1}^{\infty}(a_n)^2=72$일 때, 급수 $a_1a_2+a_2a_3+a_3a_4+\cdots$의 합은?

① $12$

② $24$

③ $27$

④ $32$

⑤ $36$

정답 ② · 해설

Step 1. 첫째항과 공비 구하기

첫째항을 $a$, 공비를 $r$ $(-1<r<1)$이라 하면 $\frac{a}{1-r}=12$, $\frac{a^2}{1-r^2}=72$이다.

두 식을 나누면 $\frac{a}{1+r}=6$이므로 $\frac{1+r}{1-r}=2$에서 $r=\frac13$, $a=8$이다.

Step 2. 새 급수의 합 구하기

$a_na_{n+1}$은 첫째항 $a_1a_2=a^2r=\frac{64}{3}$, 공비 $r^2=\frac19$인 등비수열이다.

따라서 합은 $\frac{64/3}{1-1/9}=\frac{64}{3}\times\frac98=24$이다.

따라서 정답은 ②이다.

회원가입만 하면 전 문항 · 해설 · 기출 변형문항까지 전부 무료