2020 휘문고 2학년 2학기 중간고사 미적분Ⅱ
기출문제·해설

$\sqrt[3]{x}=u$라 하면 $x+1=u^3+1=(u+1)(u^2-u+1)$이므로 $\frac{x+1}{\sqrt[3]{x}+1}=x^{\frac{2}{3}}-x^{\frac{1}{3}}+1$이다.

$\int_0^8\left(x^{\frac{2}{3}}-x^{\frac{1}{3}}+1\right)dx=\left[\frac{3}{5}x^{\frac{5}{3}}-\frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}}+x\right]_0^8=\frac{96}{5}-12+8=\frac{76}{5}$이다.

따라서 정답은 ⑤이다.

$y=\log_2(x-2)$에서 $x=2^y+2$이고, $1\le y\le3$에서 $x>0$이다.

넓이는 $\int_1^3(2^y+2)\,dy=\left[\frac{2^y}{\ln2}+2y\right]_1^3=\frac{8-2}{\ln2}+4=4+\frac{6}{\ln2}$이다.

따라서 정답은 ②이다.