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2020 휘문고 2학년 1학기 기말고사 미적분Ⅱ
기출문제·해설

휘문고등학교 2020학년도 1학기 기말고사 미적분Ⅱ 전 문항(20문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 도함수의 활용 · 여러 가지 미분법

📍 서울 강남구📅 2020 · 1학기 기말고사∑ 미적분Ⅱ📝 20문항 (객관식 10 · 서술형 10)

출제 단원

1번여러 가지 미분법거듭제곱 미분하

함수 $f(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^{6}\frac{2k+1}{x^{2k}}$에 대하여 $f'(1)$의 값은?

① $-406$

② $-405$

③ $-404$

④ $-403$

⑤ $-402$

정답 ① · 해설

Step 1. 도함수 구하기

$\frac{2k+1}{x^{2k}}=(2k+1)x^{-2k}$이므로 $f'(x)=\displaystyle\sum_{k=1}^{6}(-2k)(2k+1)x^{-2k-1}$이다.

Step 2. $f'(1)$ 계산하기

$x=1$을 대입하면 $f'(1)=-\displaystyle\sum_{k=1}^{6}2k(2k+1)$이고, 각 항은 $6,\ 20,\ 42,\ 72,\ 110,\ 156$이므로 합은 $406$이다.

따라서 $f'(1)=-406$이고 정답은 ①이다.

2번도함수의 활용증가함수 조건중

함수 $f(x)=(ax^2+2x+1)e^{2x}$가 실수 전체의 집합에서 증가하도록 하는 실수 $a$의 값은?

① $1$

② $2$

③ $3$

④ $4$

⑤ $5$

정답 ② · 해설

Step 1. 도함수 구하기

곱의 미분법으로 $f'(x)=(2ax+2)e^{2x}+2(ax^2+2x+1)e^{2x}=\{2ax^2+(2a+4)x+4\}e^{2x}$이다.

Step 2. 증가 조건 세우기

$e^{2x}>0$이므로 모든 실수 $x$에 대하여 $2ax^2+(2a+4)x+4\ge0$이어야 한다. $a=0$이면 일차식이 되어 불가능하므로 $a>0$이고 판별식이 $D\le0$이어야 한다.

Step 3. $a$의 값 구하기

$D=(2a+4)^2-32a=4a^2-16a+16=4(a-2)^2\le0$이므로 $a=2$이다.

따라서 정답은 ②이다.

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