2021 중대부고 2학년 2학기 중간고사 미적분Ⅰ
기출문제·해설
중앙대학교사범대학부속고등학교 2021학년도 2학기 중간고사 미적분Ⅰ 전 문항(22문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 함수의 연속 · 함수의 극한 · 미분계수와 도함수 · 도함수의 활용
📍 서울 강남구📅 2021 · 2학기 중간고사∑ 미적분Ⅰ📝 22문항 (객관식 18 · 서술형 4)
문제 미리보기 (2문항)
1번함수의 극한극한의 성질중
함수 $f(x)$, $g(x)$에 대하여 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty$, $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\{3f(x)-2g(x)\}=1$일 때, $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)+4g(x)}{-2f(x)+6g(x)}$의 값은?
① $\frac{2}{3}$
② $1$
③ $\frac{5}{4}$
④ $\frac{3}{2}$
⑤ $2$
정답 ② · 해설
Step 1. 새 함수로 놓기
$h(x)=3f(x)-2g(x)$라 하면 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}h(x)=1$이고 $g(x)=\frac{3f(x)-h(x)}{2}$이다.
Step 2. $\frac{g(x)}{f(x)}$의 극한 구하기
$\frac{g(x)}{f(x)}=\frac{3}{2}-\frac{h(x)}{2f(x)}$이고 $f(x)\to\infty$이므로 $\frac{g(x)}{f(x)}\to\frac{3}{2}$이다.
Step 3. 극한값 계산하기
분자, 분모를 $f(x)$로 나누면 $\frac{1+4\cdot\frac{3}{2}}{-2+6\cdot\frac{3}{2}}=\frac{7}{7}=1$
따라서 정답은 ②이다.
2번함수의 극한무리식 극한중
다음 극한값 $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{\sqrt{x+2}-\sqrt{x+1}}=\alpha$, $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\left(\sqrt{x^2-3x+2}-\sqrt{x^2+3x+2}\right)=\beta$에 대하여 $\alpha+\beta$의 값은?
① $0$
② $1$
③ $2$
④ $3$
⑤ $4$
정답 ⑤ · 해설
Step 1. $\alpha$ 구하기
분자, 분모를 각각 유리화하면 $\frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}{\sqrt{x+2}-\sqrt{x+1}}=\frac{\sqrt{x+2}+\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\to1$이므로 $\alpha=1$이다.
Step 2. $\beta$ 구하기
유리화하면 $\frac{-6x}{\sqrt{x^2-3x+2}+\sqrt{x^2+3x+2}}$이다. $x=-t$ $(t\to\infty)$로 놓으면 $\frac{6t}{\sqrt{t^2+3t+2}+\sqrt{t^2-3t+2}}\to\frac{6}{2}=3$이므로 $\beta=3$이다.
Step 3. 합 구하기
$\alpha+\beta=4$
따라서 정답은 ⑤이다.
문항 구성
| 1번 | 함수의 극한 | 극한의 성질 | 중 | 객관식 |
| 2번 | 함수의 극한 | 무리식 극한 | 중 | 객관식 |
| 3번 | 함수의 극한 | 미정계수 결정 | 중 | 객관식 |
| 4번 | 함수의 극한 | 그래프와 극한 | 중 | 객관식 |
| 5번 | 함수의 극한 | 유리함수 결정 | 상 | 객관식 |
| 6번 | 함수의 극한 | 도형과 극한 | 상 | 객관식 |
| 7번 | 함수의 연속 | 연속함수 결정 | 중 | 객관식 |
| 8번 | 함수의 연속 | 사잇값 정리 | 하 | 객관식 |
| 9번 | 함수의 연속 | 최대최소 정리 | 하 | 객관식 |
| 10번 | 함수의 연속 | 곱함수의 연속 | 중 | 객관식 |
| 11번 | 함수의 연속 | 교점 개수 함수 | 중 | 객관식 |
| 12번 | 함수의 연속 | 연속과 극한 | 하 | 객관식 |
| 13번 | 미분계수와 도함수 | 연속과 미분가능 | 중 | 객관식 |
| 14번 | 미분계수와 도함수 | 미분가능성 | 중 | 객관식 |
| 15번 | 미분계수와 도함수 | 미분계수 정의 | 중 | 객관식 |
| 16번 | 미분계수와 도함수 | 도함수 실생활 | 하 | 객관식 |
| 17번 | 미분계수와 도함수 | 미분가능성 | 상 | 객관식 |
| 18번 | 도함수의 활용 | 평균값 정리 | 중 | 객관식 |
| 19번 | 함수의 극한 | 무리식 극한 | 상 | 서술형 |
| 20번 | 함수의 연속 | 연속의 정의 | 중 | 서술형 |
| 21번 | 함수의 연속 | 곱함수의 연속 | 중 | 서술형 |
| 22번 | 도함수의 활용 | 평행 접선 | 중 | 서술형 |