2022 중대부고 1학년 1학기 중간고사 공통수학1
기출문제·해설
중앙대학교사범대학부속고등학교 2022학년도 1학기 중간고사 공통수학1 전 문항(23문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 다항식의 연산 · 복소수와 이차방정식 · 나머지정리 · 여러 가지 방정식과 부등식
📍 서울 강남구📅 2022 · 1학기 중간고사∑ 공통수학1📝 23문항 (객관식 18 · 서술형 5)
문제 미리보기 (2문항)
1번다항식의 연산정의된 연산중
두 다항식 $A$, $B$에 대하여 $[A,B]$를 $[A,B]=A^2+AB+B^2$으로 정의하자. 다항식 $[x^2+1,\,x^2+x]$의 전개식에서 $x^2$의 계수는?
① 4
② 5
③ 6
④ 7
⑤ 8
정답 ① · 해설
Step 1. 정의에 대입하기
$[x^2+1,\,x^2+x]=(x^2+1)^2+(x^2+1)(x^2+x)+(x^2+x)^2$이다.
Step 2. 각 항의 x² 계수 구하기
$(x^2+1)^2=x^4+2x^2+1$에서 $x^2$의 계수는 $2$이다.
$(x^2+1)(x^2+x)=x^4+x^3+x^2+x$에서 $1$, $(x^2+x)^2=x^4+2x^3+x^2$에서 $1$이다.
Step 3. 계수 더하기
$x^2$의 계수는 $2+1+1=4$이다.
따라서 정답은 ①이다.
2번다항식의 연산식의 값중
$x=\dfrac{1}{\sqrt7-\sqrt3}$, $y=\dfrac{1}{\sqrt7+\sqrt3}$이라고 한다. 이때, $x^3-y^3$의 값은?
① $\frac{\sqrt3}{4}$
② $\frac{3\sqrt3}{4}$
③ $\frac{\sqrt3}{2}$
④ $\frac{\sqrt7}{4}$
⑤ $\frac{3\sqrt7}{4}$
정답 ② · 해설
Step 1. 분모를 유리화하기
$x=\frac{\sqrt7+\sqrt3}{(\sqrt7-\sqrt3)(\sqrt7+\sqrt3)}=\frac{\sqrt7+\sqrt3}{4}$, $y=\frac{\sqrt7-\sqrt3}{4}$이다.
Step 2. 차와 곱 구하기
$x-y=\frac{2\sqrt3}{4}=\frac{\sqrt3}{2}$, $xy=\frac{7-3}{16}=\frac14$이다.
$x^2+xy+y^2=(x-y)^2+3xy=\frac34+\frac34=\frac32$이다.
Step 3. x³-y³ 계산하기
$x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)=\frac{\sqrt3}{2}\times\frac32=\frac{3\sqrt3}{4}$이다.
따라서 정답은 ②이다.
문항 구성
| 1번 | 다항식의 연산 | 정의된 연산 | 중 | 객관식 |
| 2번 | 다항식의 연산 | 식의 값 | 중 | 객관식 |
| 3번 | 다항식의 연산 | 곱셈공식 | 중 | 객관식 |
| 4번 | 다항식의 연산 | 식의 값 | 상 | 객관식 |
| 5번 | 나머지정리 | 나눗셈 관계 | 중 | 객관식 |
| 6번 | 나머지정리 | 항등식 | 하 | 객관식 |
| 7번 | 복소수와 이차방정식 | 복소수 계산 | 중 | 객관식 |
| 8번 | 복소수와 이차방정식 | 켤레복소수 | 중 | 객관식 |
| 9번 | 복소수와 이차방정식 | 근과 계수 | 상 | 객관식 |
| 10번 | 이차방정식과 이차함수 | 그래프와 직선 | 상 | 객관식 |
| 11번 | 이차방정식과 이차함수 | 최대·최소 | 상 | 객관식 |
| 12번 | 인수분해 | 인수분해 | 상 | 객관식 |
| 13번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 사차방정식 | 상 | 객관식 |
| 14번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | ω의 성질 | 상 | 객관식 |
| 15번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 연립이차방정식 | 중 | 객관식 |
| 16번 | 이차방정식과 이차함수 | 절댓값 그래프 | 상 | 객관식 |
| 17번 | 인수분해 | 인수분해 활용 | 상 | 객관식 |
| 18번 | 나머지정리 | 나머지정리 | 상 | 객관식 |
| 19번 | 다항식의 연산 | 곱셈공식 변형 | 중 | 서술형 |
| 20번 | 복소수와 이차방정식 | 근과 계수 | 중 | 서술형 |
| 21번 | 복소수와 이차방정식 | 판별식 | 상 | 서술형 |
| 22번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 사차방정식 | 상 | 서술형 |
| 23번 | 나머지정리 | 나머지정리 | 상 | 서술형 |