2022 중대부고 1학년 1학기 기말고사 공통수학2
기출문제·해설
중앙대학교사범대학부속고등학교 2022학년도 1학기 기말고사 공통수학2 전 문항(21문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 여러 가지 방정식과 부등식 · 원의 방정식 · 평면좌표 · 직선의 방정식
📍 서울 강남구📅 2022 · 1학기 기말고사∑ 공통수학2📝 21문항 (객관식 16 · 서술형 5)
문제 미리보기 (2문항)
1번여러 가지 방정식과 부등식이차부등식활용중
지면에서 차올린 축구공이 $x$초 후에 지면으로부터 $y$ m 높이에 있다고 할 때, $y=-5x^2+ax$인 관계가 성립한다고 한다. 이 축구공이 $4$ m 이상의 높이에서 공중에 떠 있는 시간이 $\frac{2}{5}\le x\le 2$라 할 때, 정수 $a$의 값은? (단, $a>0$)
① 6
② 8
③ 10
④ 12
⑤ 14
정답 ④ · 해설
Step 1. 높이 조건을 부등식으로 세우기
높이가 $4$ m 이상이므로 $-5x^2+ax\ge4$이다.
모든 항을 오른쪽으로 옮기면 $5x^2-ax+4\le0$이다.
Step 2. 해가 주어진 이차부등식 만들기
해가 $\frac25\le x\le2$이고 $x^2$의 계수가 $5$인 이차부등식은 $5\left(x-\frac25\right)(x-2)\le0$이다.
전개하면 $(5x-2)(x-2)=5x^2-12x+4\le0$이다.
Step 3. 계수 비교하여 a 구하기
$5x^2-ax+4$와 $5x^2-12x+4$의 $x$의 계수를 비교하면 $a=12$이다.
따라서 정답은 ④이다.
2번여러 가지 방정식과 부등식삼각형조건중
길이가 $14$ cm인 끈의 양 끝을 왼쪽에서는 $2x$ cm, 오른쪽에서는 $x$ cm만큼 자른 후 세 조각의 끈을 세 변으로 하는 삼각형을 만들려고 한다. 이때, 삼각형을 만들 수 있는 $x$의 값의 범위가 $\alpha<x<\beta$일 때, $15\alpha-2\beta$의 값은?
① 14
② 21
③ 28
④ 35
⑤ 42
정답 ③ · 해설
Step 1. 세 변의 길이와 범위 정하기
세 조각의 길이는 $2x,\ x,\ 14-3x$이다.
길이는 모두 양수이어야 하므로 $x>0$, $14-3x>0$에서 $0<x<\frac{14}{3}$이다.
Step 2. 삼각형 조건 세우기
삼각형이 되려면 각 변의 길이가 나머지 두 변의 길이의 합보다 작아야 한다.
$2x<x+(14-3x)$에서 $4x<14$, 즉 $x<\frac72$이다.
$14-3x<2x+x$에서 $6x>14$, 즉 $x>\frac73$이다. $x<2x+(14-3x)$에서 $2x<14$, 즉 $x<7$이다.
Step 3. 15α-2β의 값 구하기
공통 범위는 $\frac73<x<\frac72$이므로 $\alpha=\frac73,\ \beta=\frac72$이다.
$15\alpha-2\beta=15\times\frac73-2\times\frac72=35-7=28$이다.
따라서 정답은 ③이다.
문항 구성
| 1번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 이차부등식활용 | 중 | 객관식 |
| 2번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 삼각형조건 | 중 | 객관식 |
| 3번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 연립부등식 | 상 | 객관식 |
| 4번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 항상성립 | 중 | 객관식 |
| 5번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 연립이차부등식 | 중 | 객관식 |
| 6번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 절댓값부등식 | 상 | 객관식 |
| 7번 | 직선의 방정식 | 직선의방정식 | 중 | 객관식 |
| 8번 | 직선의 방정식 | 평행선거리 | 중 | 객관식 |
| 9번 | 평면좌표 | 격자평행사변형 | 상 | 객관식 |
| 10번 | 평면좌표 | 내분점자취 | 중 | 객관식 |
| 11번 | 원의 방정식 | 수직접선 | 중 | 객관식 |
| 12번 | 원의 방정식 | 아폴로니우스 | 상 | 객관식 |
| 13번 | 평면좌표 | 내분외분최소 | 상 | 객관식 |
| 14번 | 원의 방정식 | 자취원 | 상 | 객관식 |
| 15번 | 원의 방정식 | 접선의길이 | 중 | 객관식 |
| 16번 | 원의 방정식 | 접선과호 | 상 | 객관식 |
| 17번 | 이차방정식과 이차함수 | 그래프위치 | 하 | 서술형 |
| 18번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 연립이차부등식 | 상 | 서술형 |
| 19번 | 평면좌표 | 두점거리 | 하 | 서술형 |
| 20번 | 원의 방정식 | 접선삼각형 | 상 | 서술형 |
| 21번 | 원의 방정식 | 정삼각형최대 | 상 | 서술형 |