2021 휘문고 2학년 1학기 중간고사 대수
기출문제·해설
휘문고등학교 2021학년도 1학기 중간고사 대수 전 문항(20문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 지수함수와 로그함수 · 삼각함수의 그래프 · 지수와 로그 · 삼각함수
📍 서울 강남구📅 2021 · 1학기 중간고사∑ 대수📝 20문항 (객관식 10 · 서술형 10)
문제 미리보기 (2문항)
1번지수와 로그지수 곱셈공식중
$9^{x}=7$일 때, $\dfrac{3^{x}+3^{-x}}{27^{x}+27^{-x}}$의 값은?
① $\frac{4}{43}$
② $\frac{5}{43}$
③ $\frac{6}{43}$
④ $\frac{7}{43}$
⑤ $\frac{8}{43}$
정답 ④ · 해설
Step 1. $3^{x}+3^{-x}$의 제곱 구하기
$a=3^{x}$라 하면 $a^{2}=9^{x}=7$이므로 $(a+a^{-1})^{2}=a^{2}+2+a^{-2}=7+2+\frac{1}{7}=\frac{64}{7}$이다.
Step 2. 분모를 $a+a^{-1}$로 나타내기
$a^{3}+a^{-3}=(a+a^{-1})(a^{2}-1+a^{-2})=(a+a^{-1})\{(a+a^{-1})^{2}-3\}$이다.
Step 3. 값 계산하기
(주어진 식)$=\dfrac{1}{(a+a^{-1})^{2}-3}=\dfrac{1}{\frac{64}{7}-3}=\dfrac{7}{43}$
따라서 정답은 ④이다.
2번삼각함수삼각함수 관계중
$\frac{\pi}{2}<\theta<\pi$인 $\theta$에 대하여 $\dfrac{1}{\sin\theta+1}+\dfrac{1}{\sin(\pi+\theta)+1}=\dfrac{8}{3}$일 때, $\cos\theta+\tan\theta$의 값은?
① $-\frac{5\sqrt{3}}{6}$
② $-\frac{3\sqrt{3}}{4}$
③ $-\frac{2\sqrt{3}}{3}$
④ $-\frac{7\sqrt{3}}{12}$
⑤ $-\frac{\sqrt{3}}{2}$
정답 ① · 해설
Step 1. 식 정리하기
$\sin(\pi+\theta)=-\sin\theta$이므로 $\dfrac{1}{1+\sin\theta}+\dfrac{1}{1-\sin\theta}=\dfrac{2}{1-\sin^{2}\theta}=\dfrac{2}{\cos^{2}\theta}=\dfrac{8}{3}$이다.
Step 2. $\cos\theta$, $\tan\theta$ 구하기
$\cos^{2}\theta=\frac{3}{4}$이고 $\theta$는 제2사분면의 각이므로 $\cos\theta=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\theta=\frac{1}{2}$, $\tan\theta=-\frac{\sqrt{3}}{3}$이다.
Step 3. 값 계산하기
$\cos\theta+\tan\theta=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}}{3}=-\frac{5\sqrt{3}}{6}$
따라서 정답은 ①이다.
문항 구성
| 1번 | 지수와 로그 | 지수 곱셈공식 | 중 | 객관식 |
| 2번 | 삼각함수 | 삼각함수 관계 | 중 | 객관식 |
| 3번 | 지수함수와 로그함수 | 지수함수 최대최소 | 중 | 객관식 |
| 4번 | 지수와 로그 | 거듭제곱근 | 중 | 객관식 |
| 5번 | 삼각함수 | 삼각함수 관계 | 중 | 객관식 |
| 6번 | 삼각함수의 그래프 | 삼각함수 최대최소 | 중 | 객관식 |
| 7번 | 삼각함수의 그래프 | 탄젠트 그래프 | 중 | 객관식 |
| 8번 | 지수와 로그 | 로그와 이차방정식 | 중 | 객관식 |
| 9번 | 삼각함수의 그래프 | 삼각방정식 실근 | 중 | 객관식 |
| 10번 | 지수와 로그 | 로그방정식 그래프 | 상 | 객관식 |
| 11번 | 지수와 로그 | 로그 실생활 | 중 | 서술형 |
| 12번 | 지수함수와 로그함수 | 지수 실생활 | 중 | 서술형 |
| 13번 | 삼각함수 | 동경과 부채꼴 | 중 | 서술형 |
| 14번 | 지수함수와 로그함수 | 지수함수 교점 | 상 | 서술형 |
| 15번 | 지수함수와 로그함수 | 격자점 개수 | 상 | 서술형 |
| 16번 | 삼각함수의 그래프 | 삼각방정식 근의 합 | 상 | 서술형 |
| 17번 | 지수함수와 로그함수 | 지수로그 그래프 거리 | 중 | 서술형 |
| 18번 | 삼각함수의 그래프 | 삼각방정식 근의 개수 | 상 | 서술형 |
| 19번 | 지수함수와 로그함수 | 로그함수 최대최소 | 중 | 서술형 |
| 20번 | 삼각함수의 그래프 | 삼각방정식·부등식 | 중 | 서술형 |