2021 휘문고 2학년 1학기 기말고사 미적분Ⅱ
기출문제·해설
휘문고등학교 2021학년도 1학기 기말고사 미적분Ⅱ 전 문항(20문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 여러 가지 적분법 · 도함수의 활용 · 정적분의 활용 · 여러 가지 미분법
📍 서울 강남구📅 2021 · 1학기 기말고사∑ 미적분Ⅱ📝 20문항 (객관식 10 · 서술형 10)
문제 미리보기 (2문항)
1번여러 가지 적분법치환적분 그래프중
정의역이 $\{x\mid 0\le x\le4\}$인 함수 $f(x)$에 대하여 함수 $y=f(x)$의 그래프가 그림과 같을 때, $\displaystyle\int_{\frac12}^{1}xf(2x^2+2)\,dx$의 값은? (단, 함수 $y=f(x)$의 그래프는 네 개의 선분으로 이루어져 있다.)
① $\frac{25}{32}$
② $\frac{27}{32}$
③ $\frac{29}{32}$
④ $\frac{31}{32}$
⑤ $\frac{33}{32}$
정답 ① · 해설
Step 1. 치환하기
$2x^2+2=u$로 놓으면 $4x\,dx=du$이고 $x=\frac12$일 때 $u=\frac52$, $x=1$일 때 $u=4$이므로 주어진 식은 $\frac14\displaystyle\int_{\frac52}^{4}f(u)\,du$이다.
Step 2. 그래프로 넓이 구하기
$2\le x\le3$에서 $f$는 $4$에서 $3$으로 줄어드는 선분이므로 $f\left(\frac52\right)=\frac72$이고 $\displaystyle\int_{\frac52}^{3}f=\frac12\cdot\frac{\frac72+3}{2}=\frac{13}{8}$이다. $\displaystyle\int_3^4f=\frac12\cdot1\cdot3=\frac32$이다.
Step 3. 값 구하기
$\frac14\left(\frac{13}{8}+\frac{12}{8}\right)=\frac{25}{32}$이다.
따라서 정답은 ①이다.
2번여러 가지 적분법정적분과 급수중
정수 $a,\ b$에 대하여 $$\lim_{n\to\infty}\frac1n\left(e^{1+\frac{e}{n}}+e^{1+\frac{2e}{n}}+e^{1+\frac{3e}{n}}+\cdots+e^{1+\frac{ne}{n}}\right)=ae^e+b$$이다. $a-b$의 값은?
① $0$
② $2$
③ $4$
④ $6$
⑤ $8$
정답 ② · 해설
Step 1. 정적분으로 바꾸기
$\frac1n\sum_{k=1}^{n}e^{1+e\cdot\frac kn}$은 $\frac kn=x$로 보면 $\displaystyle\int_0^1e^{1+ex}\,dx$이다.
Step 2. 적분 계산
$\displaystyle\int_0^1e^{1+ex}\,dx=\left[\frac1e e^{1+ex}\right]_0^1=\frac{e^{1+e}-e}{e}=e^e-1$이다.
Step 3. a, b 구하기
$a=1,\ b=-1$이므로 $a-b=2$이다.
따라서 정답은 ②이다.
문항 구성
| 1번 | 여러 가지 적분법 | 치환적분 그래프 | 중 | 객관식 |
| 2번 | 여러 가지 적분법 | 정적분과 급수 | 중 | 객관식 |
| 3번 | 도함수의 활용 | 방정식 실근 개수 | 상 | 객관식 |
| 4번 | 정적분의 활용 | 치환과 넓이 | 상 | 객관식 |
| 5번 | 도함수의 활용 | 변곡점 | 중 | 객관식 |
| 6번 | 여러 가지 적분법 | 정적분과 급수 | 중 | 객관식 |
| 7번 | 정적분의 활용 | 움직인 거리 | 중 | 객관식 |
| 8번 | 여러 가지 미분법 | 역함수와 부정적분 | 중 | 객관식 |
| 9번 | 여러 가지 미분법 | 미분 식 적분 | 상 | 객관식 |
| 10번 | 도함수의 활용 | 실근 개수 함수 | 중 | 객관식 |
| 11번 | 정적분의 활용 | 넓이가 같을 조건 | 중 | 서술형 |
| 12번 | 여러 가지 적분법 | 삼각함수 적분 | 하 | 서술형 |
| 13번 | 여러 가지 적분법 | 치환적분 | 중 | 서술형 |
| 14번 | 정적분의 활용 | 부분적분 넓이 | 상 | 서술형 |
| 15번 | 도함수의 활용 | 실근 개수 판단 | 상 | 서술형 |
| 16번 | 여러 가지 적분법 | 부분적분 | 상 | 서술형 |
| 17번 | 정적분의 활용 | 입체도형의 부피 | 중 | 서술형 |
| 18번 | 여러 가지 적분법 | 역함수 적분 | 상 | 서술형 |
| 19번 | 도함수의 활용 | 평면운동 가속도 | 중 | 서술형 |
| 20번 | 여러 가지 미분법 | 역함수의 미분 | 하 | 서술형 |