2021 휘문고 2학년 1학기 중간고사 미적분Ⅱ
기출문제·해설
휘문고등학교 2021학년도 1학기 중간고사 미적분Ⅱ 전 문항(20문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 여러 가지 함수의 미분 · 수열의 극한 · 급수 · 여러 가지 미분법
📍 서울 강남구📅 2021 · 1학기 중간고사∑ 미적분Ⅱ📝 20문항 (객관식 10 · 서술형 10)
문제 미리보기 (2문항)
1번수열의 극한수열의 극한 성질하
수열 $\{a_n\}$과 상수 $\alpha$에 대한 설명 중 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
ㄱ. 수열 $\{a_n\}$이 $\alpha$에 수렴하면 수열 $\{a_{2n}\}$도 $\alpha$에 수렴한다.
ㄴ. 수열 $\{a_n\}$이 $\alpha$에 수렴하면 수열 $\{a_{2n-1}+a_{2n}\}$은 $2\alpha$에 수렴한다.
ㄷ. 수열 $\{a_n\}$이 $\alpha$에 수렴하면 수열 $\{a_{2n-1}\times a_{2n}\}$은 $\alpha^2$에 수렴한다.
① ㄱ
② ㄱ, ㄴ
③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ
⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
정답 ⑤ · 해설
Step 1. ㄱ 판단하기
$\{a_{2n}\}$은 $\{a_n\}$의 항을 골라 차례로 나열한 부분수열이므로 $n\to\infty$일 때 $a_{2n}\to\alpha$이다. 참.
Step 2. ㄴ 판단하기
$\{a_{2n-1}\}$, $\{a_{2n}\}$이 모두 $\alpha$로 수렴하므로 극한의 성질에 의해 $\lim_{n\to\infty}(a_{2n-1}+a_{2n})=\alpha+\alpha=2\alpha$이다. 참.
Step 3. ㄷ 판단하기
같은 이유로 $\lim_{n\to\infty}a_{2n-1}a_{2n}=\alpha\times\alpha=\alpha^2$이다. 참.
따라서 정답은 ⑤이다.
2번급수급수와 수열의 극한하
수열 $\{a_n\}$에 대하여 $\sum_{n=1}^{\infty}a_n=6$이고 첫째항부터 제 $n$항까지의 합을 $S_n$이라 할 때, $\lim_{n\to\infty}\frac{3S_{n+1}+a_n-4}{S_n-3a_n+1}$의 값은?
① $2$
② $\frac{5}{2}$
③ $3$
④ $\frac{7}{2}$
⑤ $4$
정답 ① · 해설
Step 1. $S_n$, $a_n$의 극한 구하기
급수가 $6$으로 수렴하므로 $\lim_{n\to\infty}S_n=\lim_{n\to\infty}S_{n+1}=6$이고, 급수가 수렴하면 $\lim_{n\to\infty}a_n=0$이다.
Step 2. 극한값 계산하기
$\lim_{n\to\infty}\frac{3S_{n+1}+a_n-4}{S_n-3a_n+1}=\frac{3\times6+0-4}{6-0+1}=\frac{14}{7}=2$
따라서 정답은 ①이다.
문항 구성
| 1번 | 수열의 극한 | 수열의 극한 성질 | 하 | 객관식 |
| 2번 | 급수 | 급수와 수열의 극한 | 하 | 객관식 |
| 3번 | 급수 | 급수의 수렴 조건 | 중 | 객관식 |
| 4번 | 수열의 극한 | 등비수열 수렴조건 | 중 | 객관식 |
| 5번 | 급수 | 망원급수 | 중 | 객관식 |
| 6번 | 수열의 극한 | 등비수열 극한 분류 | 상 | 객관식 |
| 7번 | 급수 | 도형과 등비급수 | 상 | 객관식 |
| 8번 | 여러 가지 함수의 미분 | 덧셈정리 접선각 | 중 | 객관식 |
| 9번 | 여러 가지 미분법 | 합성함수 미분 도형 | 중 | 객관식 |
| 10번 | 여러 가지 함수의 미분 | 로그함수 미분 | 상 | 객관식 |
| 11번 | 여러 가지 함수의 미분 | 로그함수 극한 | 하 | 서술형 |
| 12번 | 여러 가지 미분법 | 역함수 미분 | 중 | 서술형 |
| 13번 | 수열의 극한 | 지수꼴 수열 극한 | 중 | 서술형 |
| 14번 | 수열의 극한 | 도형과 수열 극한 | 중 | 서술형 |
| 15번 | 여러 가지 함수의 미분 | 삼각함수 극한 도형 | 중 | 서술형 |
| 16번 | 급수 | 도형 등비급수 | 상 | 서술형 |
| 17번 | 여러 가지 함수의 미분 | 삼각함수 극한 도형 | 상 | 서술형 |
| 18번 | 여러 가지 함수의 미분 | 삼각함수 극한 도형 | 중 | 서술형 |
| 19번 | 여러 가지 미분법 | 몫의 미분법 | 하 | 서술형 |
| 20번 | 여러 가지 미분법 | 매개변수 미분 | 중 | 서술형 |