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2021 중대부고 2학년 2학기 기말고사 미적분Ⅰ
기출문제·해설

중앙대학교사범대학부속고등학교 2021학년도 2학기 기말고사 미적분Ⅰ 전 문항(22문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 도함수의 활용 · 정적분의 활용 · 부정적분과 정적분 · 미분계수와 도함수

📍 서울 강남구📅 2021 · 2학기 기말고사∑ 미적분Ⅰ📝 22문항 (객관식 18 · 서술형 4)

출제 단원

1번도함수의 활용극값 조건하

$f'(x)=3(x^2-1)$이고 $f(x)$의 극솟값이 $0$일 때, 함수 $f(x)$의 극댓값은?

① 2

② 3

③ 4

④ 5

⑤ 6

정답 ③ · 해설

Step 1. f(x) 구하기

$f(x)=\displaystyle\int 3(x^2-1)\,dx=x^3-3x+C$이다.

Step 2. 극솟값으로 C 구하기

$f'(x)=3(x+1)(x-1)$이므로 $x=1$에서 극소이다. $f(1)=1-3+C=0$에서 $C=2$이다.

Step 3. 극댓값 구하기

$x=-1$에서 극대이므로 극댓값은 $f(-1)=-1+3+2=4$이다.

따라서 정답은 ③이다.

2번부정적분과 정적분적분 구간 합치기하

함수 $f(x)=4x^3+3x^2+2x-1$에 대하여
$\displaystyle\int_{-2}^{3}f(x)\,dx-\int_{4}^{3}f(x)\,dx+\int_{4}^{2}f(x)\,dx$의 값은?

① 8

② 9

③ 10

④ 11

⑤ 12

정답 ⑤ · 해설

Step 1. 적분 구간 합치기

$-\displaystyle\int_4^3 f\,dx=\int_3^4 f\,dx$이므로 주어진 식은 $\displaystyle\int_{-2}^{3}f\,dx+\int_3^4 f\,dx+\int_4^2 f\,dx=\int_{-2}^{2}f(x)\,dx$이다.

Step 2. 대칭 구간 적분 계산하기

홀수차항 $4x^3,\ 2x$의 적분은 $0$이므로 $\displaystyle\int_{-2}^{2}(3x^2-1)\,dx=2\Big[x^3-x\Big]_0^2=2\times6=12$이다.

따라서 정답은 ⑤이다.

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