2021 휘문고 1학년 1학기 기말고사 공통수학2
기출문제·해설
휘문고등학교 2021학년도 1학기 기말고사 공통수학2 전 문항(20문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 여러 가지 방정식과 부등식 · 원의 방정식 · 직선의 방정식 · 평면좌표
📍 서울 강남구📅 2021 · 1학기 기말고사∑ 공통수학2📝 20문항 (객관식 10 · 서술형 10)
문제 미리보기 (2문항)
1번여러 가지 방정식과 부등식치환 사차방정식하
방정식 $(x^2+4x+3)(x^2+4x-2)-14=0$의 모든 실근의 합은?
① $-8$
② $-7$
③ $-6$
④ $-5$
⑤ $-4$
정답 ⑤ · 해설
Step 1. 치환하여 정리하기
$x^2+4x=t$로 놓으면 $(t+3)(t-2)-14=t^2+t-20=(t+5)(t-4)=0$이므로 $t=-5$ 또는 $t=4$이다.
Step 2. 실근 판별하기
$x^2+4x+5=0$은 판별식 $16-20<0$이므로 허근, $x^2+4x-4=0$은 판별식 $16+16>0$이므로 서로 다른 두 실근을 갖는다.
Step 3. 합 구하기
실근의 합은 근과 계수의 관계에 의해 $-4$이다.
따라서 정답은 ⑤이다.
2번여러 가지 방정식과 부등식연립이차방정식중
$x$, $y$에 대한 두 연립이차방정식
$$\begin{cases}x-y=3\\ ax^2+y=2\end{cases},\quad\begin{cases}x+by=-5\\ x^2+y^2=17\end{cases}$$
이 공통인 근을 가질 때, 두 상수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 최댓값은?
① $4$
② $5$
③ $6$
④ $7$
⑤ $8$
정답 ④ · 해설
Step 1. 공통근 구하기
공통근은 $x-y=3$, $x^2+y^2=17$을 동시에 만족시킨다. $y=x-3$을 대입하면 $x^2-3x-4=0$이므로 $(x,y)=(4,1)$ 또는 $(-1,-4)$이다.
Step 2. 각 경우의 $a$, $b$ 구하기
$(4,1)$이면 $16a+1=2$, $4+b=-5$에서 $a=\frac{1}{16}$, $b=-9$이고 $a+b=-\frac{143}{16}$이다. $(-1,-4)$이면 $a-4=2$, $-1-4b=-5$에서 $a=6$, $b=1$이고 $a+b=7$이다.
Step 3. 최댓값 구하기
$a+b$의 최댓값은 $7$이다.
따라서 정답은 ④이다.
문항 구성
| 1번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 치환 사차방정식 | 하 | 객관식 |
| 2번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 연립이차방정식 | 중 | 객관식 |
| 3번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 절댓값 부등식 | 중 | 객관식 |
| 4번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 연립방정식 활용 | 중 | 객관식 |
| 5번 | 직선의 방정식 | 수선의 발 | 하 | 객관식 |
| 6번 | 원의 방정식 | 원의 접선 | 상 | 객관식 |
| 7번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 사차방정식 근 | 상 | 객관식 |
| 8번 | 원의 방정식 | 원의 자취 넓이 | 중 | 객관식 |
| 9번 | 원의 방정식 | 원과 직선 보기 | 상 | 객관식 |
| 10번 | 원의 방정식 | 원과 직선 위치 | 상 | 객관식 |
| 11번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 연립일차부등식 | 하 | 서술형 |
| 12번 | 평면좌표 | 평행사변형 중점 | 하 | 서술형 |
| 13번 | 원의 방정식 | 축에 접하는 원 | 중 | 서술형 |
| 14번 | 원의 방정식 | 원의 지름과 수직 | 중 | 서술형 |
| 15번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 이차부등식 정수해 | 상 | 서술형 |
| 16번 | 여러 가지 방정식과 부등식 | 연립이차부등식 | 상 | 서술형 |
| 17번 | 직선의 방정식 | 평행조건 자취 | 상 | 서술형 |
| 18번 | 직선의 방정식 | 각의 이등분선 | 중 | 서술형 |
| 19번 | 복소수와 이차방정식 | ω의 성질 | 상 | 서술형 |
| 20번 | 원의 방정식 | 원과 직선 거리 | 중 | 서술형 |