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2021 휘문고 2학년 2학기 기말고사 미적분Ⅰ
기출문제·해설

휘문고등학교 2021학년도 2학기 기말고사 미적분Ⅰ 전 문항(20문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 도함수의 활용 · 정적분의 활용 · 부정적분과 정적분 · 미분계수와 도함수

📍 서울 강남구📅 2021 · 2학기 기말고사∑ 미적분Ⅰ📝 20문항 (객관식 10 · 서술형 10)

출제 단원

1번도함수의 활용증가함수 조건중

실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(x)=x^3+ax^2-ax+2$의 역함수가 존재하도록 하는 실수 $a$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 할 때, $M-m$의 값은?

① 1

② 2

③ 3

④ 4

⑤ 5

정답 ③ · 해설

Step 1. 역함수 존재 조건 세우기

최고차항의 계수가 양수인 삼차함수가 역함수를 가지려면 증가함수, 즉 모든 실수 $x$에 대하여 $f'(x)=3x^2+2ax-a\ge 0$이어야 한다.

Step 2. 판별식으로 $a$의 범위 구하기

$\frac{D}{4}=a^2+3a\le 0$이므로 $-3\le a\le 0$이다.

Step 3. $M-m$ 계산

$M=0$, $m=-3$이므로 $M-m=3$이다.

따라서 정답은 ③이다.

2번도함수의 활용방정식 실근 개수중

두 곡선 $y=x^3-x^2-2x$, $y=2x^2+7x+k$가 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 모든 정수 $k$의 개수는?

① 31

② 32

③ 33

④ 34

⑤ 35

정답 ① · 해설

Step 1. 방정식으로 바꾸기

$x^3-x^2-2x=2x^2+7x+k$에서 $k=x^3-3x^2-9x$이다. $h(x)=x^3-3x^2-9x$라 하면 곡선 $y=h(x)$와 직선 $y=k$가 서로 다른 세 점에서 만나야 한다.

Step 2. 극값 구하기

$h'(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)$이므로 극댓값 $h(-1)=5$, 극솟값 $h(3)=-27$이다.

Step 3. 정수 $k$의 개수 세기

$-27<k<5$이므로 정수 $k$는 $-26,-25,\cdots,4$의 $31$개이다.

따라서 정답은 ①이다.

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