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2022 휘문고 2학년 2학기 기말고사 미적분Ⅰ
기출문제·해설

휘문고등학교 2022학년도 2학기 기말고사 미적분Ⅰ 전 문항(19문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 도함수의 활용 · 부정적분과 정적분 · 정적분의 활용

📍 서울 강남구📅 2022 · 2학기 기말고사∑ 미적분Ⅰ📝 19문항 (객관식 10 · 서술형 9)

출제 단원

1번도함수의 활용평균값 정리하

함수 $f(x)=x^3-3x^2$에 대하여 $\frac{f(3)-f(0)}{3}=f'(a)$일 때, 상수 $a$의 값은? (단, $a>0$이다.)

① $\frac{1}{2}$

② $1$

③ $\frac{3}{2}$

④ $2$

⑤ $\frac{5}{2}$

정답 ④ · 해설

Step 1. 평균변화율 구하기

$f(3)=27-27=0$, $f(0)=0$이므로 $\frac{f(3)-f(0)}{3}=0$이다.

Step 2. $a$ 구하기

$f'(x)=3x^2-6x$이므로 $3a^2-6a=0$에서 $a=0$ 또는 $a=2$이고, $a>0$이므로 $a=2$이다.

따라서 정답은 ④이다.

2번도함수의 활용극값과 적분상수중

모든 실수 $a$에 대하여 함수 $y=f(x)$의 그래프 위의 점 $(a,\ f(a))$에서의 접선의 기울기가 $3a^2-6a-24$이고 함수 $f(x)$의 극솟값이 $0$일 때, $f(x)$의 극댓값은?

① $28$

② $48$

③ $68$

④ $88$

⑤ $108$

정답 ⑤ · 해설

Step 1. $f(x)$의 꼴 구하기

$f'(x)=3x^2-6x-24=3(x-4)(x+2)$이므로 $f(x)=x^3-3x^2-24x+C$이다.

Step 2. 극솟값으로 $C$ 구하기

$x=4$에서 극소이므로 $f(4)=64-48-96+C=0$, $C=80$이다.

Step 3. 극댓값 구하기

$x=-2$에서 극대이므로 $f(-2)=-8-12+48+80=108$이다.

따라서 정답은 ⑤이다.

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