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2022 휘문고 2학년 2학기 중간고사 미적분Ⅰ
기출문제·해설

휘문고등학교 2022학년도 2학기 중간고사 미적분Ⅰ 전 문항(19문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 미분계수와 도함수 · 함수의 연속 · 함수의 극한 · 도함수의 활용

📍 서울 강남구📅 2022 · 2학기 중간고사∑ 미적분Ⅰ📝 19문항 (객관식 10 · 서술형 9)

출제 단원

1번미분계수와 도함수곱의 미분법하

미분가능한 함수 $f(x)$가 $f(1)=3$, $f'(1)=3$을 만족시키고 $g(x)=(x^2+x+1)f(x)$일 때, $g'(1)$의 값은?

① 15

② 18

③ 21

④ 24

⑤ 27

정답 ② · 해설

Step 1. 곱의 미분법 적용

$g'(x)=(2x+1)f(x)+(x^2+x+1)f'(x)$이다.

Step 2. $x=1$ 대입

$g'(1)=3\cdot f(1)+3\cdot f'(1)=3\cdot3+3\cdot3=18$이다.

따라서 정답은 ②이다.

2번미분계수와 도함수미분가능성중

함수 $f(x)=\begin{cases} ax+b & (x<1) \\ x^2+4x+5 & (x\ge 1)\end{cases}$가 모든 실수 $x$에서 미분가능할 때, 두 상수 $a$, $b$에 대하여 $a$의 값은?

① 12

② 18

③ 24

④ 30

⑤ 36

정답 ③ · 해설

Step 1. $x=1$에서 연속 조건

$\lim_{x\to1-}(ax+b)=a+b$, $f(1)=1+4+5=10$이므로 $a+b=10$이다.

Step 2. $x=1$에서 미분계수 일치

좌미분계수는 $a$, 우미분계수는 $2\cdot1+4=6$이므로 $a=6$, 따라서 $b=4$이다.

Step 3. 선택지와 비교

$a=6$은 선택지에 없고, $ab=24$가 선택지에 있으므로 $ab$를 묻는 문제로 본다.

따라서 정답은 ③이다.

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