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2023 휘문고 2학년 2학기 기말고사 미적분Ⅰ
기출문제·해설

휘문고등학교 2023학년도 2학기 기말고사 미적분Ⅰ 전 문항(20문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 도함수의 활용 · 부정적분과 정적분 · 정적분의 활용 · 미분계수와 도함수

📍 서울 강남구📅 2023 · 2학기 기말고사∑ 미적분Ⅰ📝 20문항 (객관식 10 · 서술형 10)

출제 단원

1번정적분의 활용움직인 거리하

원점을 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 P의 시각 $t$에서의 속도 $v(t)$가 $v(t)=-t^3+3t^2$일 때, 시각 $t=0$에서 $t=4$까지 점 P가 움직인 거리는?

① $\frac{23}{2}$

② $12$

③ $\frac{25}{2}$

④ $13$

⑤ $\frac{27}{2}$

정답 ⑤ · 해설

Step 1. 속도의 부호 조사하기

$v(t)=t^2(3-t)$이므로 $0\le t\le 3$에서 $v(t)\ge 0$, $3\le t\le 4$에서 $v(t)\le 0$이다.

Step 2. 움직인 거리 계산하기

$F(t)=-\frac{t^4}{4}+t^3$이라 하면 $F(0)=0$, $F(3)=\frac{27}{4}$, $F(4)=0$이다.

거리는 $\int_0^4|v(t)|dt=\{F(3)-F(0)\}-\{F(4)-F(3)\}=\frac{27}{4}+\frac{27}{4}=\frac{27}{2}$이다.

따라서 정답은 ⑤이다.

2번도함수의 활용평균값 정리하

함수 $f(x)=x^3-2x+2$에 대하여 닫힌구간 $[0,\ 2]$에서
$$\frac{f(2)-f(0)}{2}=f'(k)$$
를 만족시키는 실수 $k$의 값은?

① $\frac{\sqrt{3}}{3}$

② $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

③ $\sqrt{2}$

④ $\frac{4\sqrt{3}}{3}$

⑤ $\frac{5\sqrt{3}}{3}$

정답 ② · 해설

Step 1. 평균변화율 구하기

$f(2)=8-4+2=6$, $f(0)=2$이므로 $\frac{f(2)-f(0)}{2}=2$이다.

Step 2. $k$의 값 구하기

$f'(x)=3x^2-2$이므로 $3k^2-2=2$, $k^2=\frac{4}{3}$이다. $0<k<2$이므로 $k=\frac{2\sqrt{3}}{3}$이다.

따라서 정답은 ②이다.

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