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2023 휘문고 2학년 1학기 기말고사 미적분Ⅱ
기출문제·해설

휘문고등학교 2023학년도 1학기 기말고사 미적분Ⅱ 전 문항(20문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 여러 가지 적분법 · 도함수의 활용 · 정적분의 활용 · 여러 가지 미분법

📍 서울 강남구📅 2023 · 1학기 기말고사∑ 미적분Ⅱ📝 20문항 (객관식 10 · 서술형 10)

출제 단원

1번여러 가지 적분법부분적분하

$\displaystyle\int_1^e 4x(\ln x)^2\,dx$의 값은?

① $e^2-1$

② $e^2$

③ $e^2+1$

④ $e^2+2$

⑤ $e^2+3$

정답 ① · 해설

Step 1. 첫 번째 부분적분

$u=(\ln x)^2,\ v'=4x$로 두면 $\int 4x(\ln x)^2dx=2x^2(\ln x)^2-\int 2x^2\cdot\frac{2\ln x}{x}dx=2x^2(\ln x)^2-\int 4x\ln x\,dx$이다.

Step 2. 두 번째 부분적분

$\int 4x\ln x\,dx=2x^2\ln x-\int 2x\,dx=2x^2\ln x-x^2$이다.

Step 3. 정적분 계산

$\left[2x^2(\ln x)^2-2x^2\ln x+x^2\right]_1^e=(2e^2-2e^2+e^2)-1=e^2-1$이다.

따라서 정답은 ①이다.

2번여러 가지 적분법인수분해 후 적분하

$\displaystyle\int_2^4 \frac{e^{2x}-x^2}{e^x+x}\,dx$의 값은?

① $e^4+e^2+6$

② $e^4+e^2-6$

③ $e^4-e^2-6$

④ $e^4-e^2+6$

⑤ $-e^4-e^2-6$

정답 ③ · 해설

Step 1. 피적분함수 정리

$e^{2x}-x^2=(e^x+x)(e^x-x)$이므로 $\frac{e^{2x}-x^2}{e^x+x}=e^x-x$이다.

Step 2. 정적분 계산

$\int_2^4(e^x-x)dx=\left[e^x-\frac{x^2}{2}\right]_2^4=(e^4-8)-(e^2-2)=e^4-e^2-6$이다.

따라서 정답은 ③이다.

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