2023 휘문고 2학년 1학기 중간고사 미적분Ⅱ
기출문제·해설
휘문고등학교 2023학년도 1학기 중간고사 미적분Ⅱ 전 문항(20문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 여러 가지 함수의 미분 · 여러 가지 미분법 · 수열의 극한 · 급수
📍 서울 강남구📅 2023 · 1학기 중간고사∑ 미적분Ⅱ📝 20문항 (객관식 10 · 서술형 10)
문제 미리보기 (2문항)
1번여러 가지 함수의 미분로그함수 극한하
함수 $f(x)$가
$$f(x)=\begin{cases} 4x+3 & (x\le 0) \\ \dfrac{\ln(ax+b)}{x} & (x>0) \end{cases}$$
일 때, $f(x)$가 $x=0$에서 연속이 되도록 하는 두 양수 $a$와 $b$의 곱 $ab$의 값은?
① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$
정답 ③ · 해설
Step 1. $b$의 값 구하기
$x=0$에서 연속이려면 $\lim_{x\to0+}\dfrac{\ln(ax+b)}{x}=f(0)=3$이어야 한다.
$x\to0+$일 때 분모가 $0$으로 가므로 분자도 $0$으로 가야 한다. 즉 $\ln b=0$에서 $b=1$이다.
Step 2. $a$의 값 구하기
$\lim_{x\to0+}\dfrac{\ln(1+ax)}{x}=\lim_{x\to0+}\dfrac{\ln(1+ax)}{ax}\cdot a=a$이므로 $a=3$이다.
Step 3. $ab$ 구하기
$ab=3\times1=3$
따라서 정답은 ③이다.
2번수열의 극한수열의 극한하
모든 항이 양수인 두 수열 $\{a_n\}$과 $\{b_n\}$에 대하여
$$\lim_{n\to\infty}a_n=\infty,\quad \lim_{n\to\infty}(2a_n-3b_n)=4$$
일 때, $\lim_{n\to\infty}\dfrac{2a_n+5b_n}{4a_n-3b_n}$의 값은?
① $\dfrac{2}{3}$
② $\dfrac{4}{3}$
③ $2$
④ $\dfrac{8}{3}$
⑤ $\dfrac{10}{3}$
정답 ④ · 해설
Step 1. $\dfrac{b_n}{a_n}$의 극한 구하기
$2a_n-3b_n=c_n$이라 하면 $c_n\to4$이고 $\dfrac{b_n}{a_n}=\dfrac{2}{3}-\dfrac{c_n}{3a_n}$이다.
$a_n\to\infty$이므로 $\dfrac{c_n}{a_n}\to0$, 따라서 $\lim_{n\to\infty}\dfrac{b_n}{a_n}=\dfrac{2}{3}$이다.
Step 2. 구하는 극한 계산
분모·분자를 $a_n$으로 나누면 $\dfrac{2+5\cdot\frac{b_n}{a_n}}{4-3\cdot\frac{b_n}{a_n}}\to\dfrac{2+\frac{10}{3}}{4-2}=\dfrac{8}{3}$
따라서 정답은 ④이다.
문항 구성
| 1번 | 여러 가지 함수의 미분 | 로그함수 극한 | 하 | 객관식 |
| 2번 | 수열의 극한 | 수열의 극한 | 하 | 객관식 |
| 3번 | 여러 가지 미분법 | 합성함수 미분 | 중 | 객관식 |
| 4번 | 급수 | 등비급수 | 중 | 객관식 |
| 5번 | 급수 | 급수와 일반항 | 중 | 객관식 |
| 6번 | 여러 가지 미분법 | 매개변수·역함수 미분 | 중 | 객관식 |
| 7번 | 여러 가지 함수의 미분 | 로그함수 미분 | 상 | 객관식 |
| 8번 | 여러 가지 미분법 | 역함수 미분 | 중 | 객관식 |
| 9번 | 여러 가지 미분법 | 음함수 미분 | 중 | 객관식 |
| 10번 | 여러 가지 함수의 미분 | 삼각함수 덧셈정리 | 중 | 객관식 |
| 11번 | 수열의 극한 | 등비수열의 극한 | 하 | 서술형 |
| 12번 | 급수 | 부분분수 급수 | 중 | 서술형 |
| 13번 | 급수 | 순환소수 등비급수 | 중 | 서술형 |
| 14번 | 도함수의 활용 | 접선이 이루는 각 | 상 | 서술형 |
| 15번 | 수열의 극한 | 수열의 극한 미정계수 | 상 | 서술형 |
| 16번 | 여러 가지 함수의 미분 | 삼각함수 극한 도형 | 중 | 서술형 |
| 17번 | 여러 가지 함수의 미분 | 삼각함수 극한 도형 | 중 | 서술형 |
| 18번 | 수열의 극한 | 극한으로 정의된 함수 | 중 | 서술형 |
| 19번 | 여러 가지 함수의 미분 | 지수함수 미분계수 | 중 | 서술형 |
| 20번 | 여러 가지 미분법 | 역함수 미분 | 하 | 서술형 |