2023 휘문고 1학년 2학기 기말고사 공통수학2
기출문제·해설
휘문고등학교 2023학년도 2학기 기말고사 공통수학2 전 문항(20문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 함수 · 유리함수와 무리함수 · 순열과 조합
📍 서울 강남구📅 2023 · 2학기 기말고사∑ 공통수학2📝 20문항 (객관식 10 · 서술형 10)
문제 미리보기 (2문항)
1번함수일대일대응 조건중
정의역이 집합 $X=\{x\mid x\le k\}$인 함수 $f(x)=-x^2+6x+6$이 있다. 함수 $f$가 일대일함수가 되도록 하는 실수 $k$의 최댓값을 $k_1$, 함수 $f$가 $X$에서 $X$로의 일대일대응이 되도록 하는 실수 $k$의 값을 $k_2$라고 하자. 두 상수 $k_1$, $k_2$의 합 $k_1+k_2$의 값은?
① $1$
② $2$
③ $3$
④ $4$
⑤ $5$
정답 ② · 해설
Step 1. $k_1$ 구하기
$f(x)=-(x-3)^2+15$는 $x\le3$에서 증가하므로 일대일함수가 되려면 $k\le3$이고 $k_1=3$이다.
Step 2. $k_2$ 구하기
$k\le3$일 때 치역은 $\{y\mid y\le f(k)\}$이므로 일대일대응이려면 $f(k)=k$이다. $-k^2+6k+6=k$에서 $(k-6)(k+1)=0$이고 $k\le3$이므로 $k_2=-1$이다.
Step 3. 합 계산
$k_1+k_2=3-1=2$이다.
따라서 정답은 ②이다.
2번함수역함수의 함숫값하
집합 $X=\{x\mid x>-1\}$에서 정의된 두 함수
$f(x)=\frac{x+4}{x+1}$, $g(x)=\sqrt{3x+3}$
에 대하여 $(f\circ g^{-1})(3)$의 값은?
① $-2$
② $-1$
③ $0$
④ $1$
⑤ $2$
정답 ⑤ · 해설
Step 1. $g^{-1}(3)$ 구하기
$g(a)=3$인 $a$를 찾으면 $\sqrt{3a+3}=3$에서 $a=2$이므로 $g^{-1}(3)=2$이다.
Step 2. 함숫값 계산
$f(2)=\frac{6}{3}=2$이다.
따라서 정답은 ⑤이다.
문항 구성
| 1번 | 함수 | 일대일대응 조건 | 중 | 객관식 |
| 2번 | 함수 | 역함수의 함숫값 | 하 | 객관식 |
| 3번 | 유리함수와 무리함수 | 유리함수 점근선 | 중 | 객관식 |
| 4번 | 유리함수와 무리함수 | 유리함수 역함수 | 상 | 객관식 |
| 5번 | 함수 | 합성함수의 주기 | 하 | 객관식 |
| 6번 | 순열과 조합 | 조합의 활용 | 중 | 객관식 |
| 7번 | 순열과 조합 | 완전순열 | 중 | 객관식 |
| 8번 | 함수 | 합성함수 추론 | 중 | 객관식 |
| 9번 | 함수 | 합성함수 보기 | 상 | 객관식 |
| 10번 | 순열과 조합 | 순열·조합 성질 | 상 | 객관식 |
| 11번 | 함수 | 역함수의 성질 | 하 | 서술형 |
| 12번 | 함수 | 역함수의 성질 | 중 | 서술형 |
| 13번 | 유리함수와 무리함수 | 무리함수 평행이동 | 하 | 서술형 |
| 14번 | 순열과 조합 | 순열의 활용 | 하 | 서술형 |
| 15번 | 순열과 조합 | 조건 있는 순열 | 상 | 서술형 |
| 16번 | 유리함수와 무리함수 | 그래프의 사분면 | 상 | 서술형 |
| 17번 | 순열과 조합 | 이웃 조건 순열 | 중 | 서술형 |
| 18번 | 유리함수와 무리함수 | 그래프 교점 개수 | 중 | 서술형 |
| 19번 | 함수 | 일대일대응 조건 | 하 | 서술형 |
| 20번 | 유리함수와 무리함수 | 유리함수 점근선 | 하 | 서술형 |