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2024 휘문고 1학년 1학기 기말고사 공통수학2
기출문제·해설

휘문고등학교 2024학년도 1학기 기말고사 공통수학2 전 문항(20문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 여러 가지 방정식과 부등식 · 평면좌표 · 직선의 방정식 · 원의 방정식

📍 서울 강남구📅 2024 · 1학기 기말고사∑ 공통수학2📝 20문항 (객관식 10 · 서술형 10)

출제 단원

1번여러 가지 방정식과 부등식삼차방정식 허근하

삼차방정식 $x^3+4x^2+8x+8=0$의 서로 다른 두 허근을 $\alpha$, $\beta$라 할 때, $\alpha^3+\beta^3$의 값은?

① 10

② 12

③ 14

④ 16

⑤ 18

정답 ④ · 해설

Step 1. 좌변 인수분해하기

$x=-2$를 대입하면 $-8+16-16+8=0$이므로 $x+2$가 인수이다. 조립제법으로 $(x+2)(x^2+2x+4)=0$이다.

Step 2. 근과 계수의 관계 쓰기

허근 $\alpha$, $\beta$는 $x^2+2x+4=0$의 두 근이므로 $\alpha+\beta=-2$, $\alpha\beta=4$이다.

Step 3. $\alpha^3+\beta^3$ 계산하기

$\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)=-8+24=16$이다.

따라서 정답은 ④이다.

2번복소수와 이차방정식판별식하

$x$에 대한 이차방정식 $x^2+2kx+2k^2-3=0$이 실근을 갖도록 하는 실수 $k$의 최댓값은?

① $\sqrt{2}$

② $\sqrt{3}$

③ 2

④ $\sqrt{5}$

⑤ $\sqrt{6}$

정답 ② · 해설

Step 1. 판별식 조건 세우기

실근을 가지려면 $\frac{D}{4}=k^2-(2k^2-3)\ge 0$이어야 한다.

Step 2. $k$의 범위 구하기

$-k^2+3\ge 0$에서 $k^2\le 3$, 즉 $-\sqrt{3}\le k\le\sqrt{3}$이므로 최댓값은 $\sqrt{3}$이다.

따라서 정답은 ②이다.

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