2024 휘문고 2학년 2학기 기말고사 미적분Ⅰ
기출문제·해설
휘문고등학교 2024학년도 2학기 기말고사 미적분Ⅰ 전 문항(20문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 도함수의 활용 · 정적분의 활용 · 부정적분과 정적분
📍 서울 강남구📅 2024 · 2학기 기말고사∑ 미적분Ⅰ📝 20문항 (객관식 10 · 서술형 10)
문제 미리보기 (2문항)
1번도함수의 활용평균값 정리하
상수 $a$와 함수 $f(x)=x^2-3ax-4$에 대하여 닫힌구간 $[a,\ a+3]$에서 $\frac{f(a+3)-f(a)}{3}=f'(6)$일 때, $f(2)$의 값은?
① -35
② -27
③ -19
④ -11
⑤ -3
정답 ② · 해설
Step 1. 평균변화율 계산
$f(a+3)-f(a)=(a+3)^2-a^2-3a\cdot3=6a+9-9a=9-3a$이므로 $\frac{f(a+3)-f(a)}{3}=3-a$이다.
Step 2. $a$의 값 구하기
$f'(x)=2x-3a$이므로 $f'(6)=12-3a$이다. $3-a=12-3a$에서 $a=\frac92$이다.
Step 3. $f(2)$ 계산
$f(2)=4-6a-4=-6a=-27$이다.
따라서 정답은 ②이다.
2번도함수의 활용그림자 속도중
키가 $1.75$인 휘돌이가 높이가 $4.2$인 가로등 바로 아래에서 출발하여 일직선으로 초속 $1.4$로 걸어가고 있다. 가로등으로부터 만들어진 휘돌이의 그림자의 앞 끝이 움직이는 속도는? (단, 키와 높이의 단위는 $\mathrm{m}$이고, 속도의 단위는 $\mathrm{m/s}$이다.)
① 1.8
② 2
③ 2.2
④ 2.4
⑤ 2.6
정답 ④ · 해설
Step 1. 길이 사이의 관계식
$t$초 후 가로등 밑에서 휘돌이까지의 거리를 $x$, 그림자 끝까지의 거리를 $s$라 하면 닮음에 의해 $s:4.2=(s-x):1.75$이다.
Step 2. $s$를 $x$로 나타내기
$1.75s=4.2s-4.2x$에서 $2.45s=4.2x$, 즉 $s=\frac{12}{7}x$이다.
Step 3. 속도 계산
$\frac{dx}{dt}=1.4$이므로 $\frac{ds}{dt}=\frac{12}{7}\times1.4=2.4$이다.
따라서 정답은 ④이다.
문항 구성
| 1번 | 도함수의 활용 | 평균값 정리 | 하 | 객관식 |
| 2번 | 도함수의 활용 | 그림자 속도 | 중 | 객관식 |
| 3번 | 정적분의 활용 | 움직인 거리 | 하 | 객관식 |
| 4번 | 도함수의 활용 | 속도 | 하 | 객관식 |
| 5번 | 도함수의 활용 | 증가함수 조건 | 중 | 객관식 |
| 6번 | 도함수의 활용 | 사차함수 극값 | 중 | 객관식 |
| 7번 | 부정적분과 정적분 | 적분방정식 | 중 | 객관식 |
| 8번 | 부정적분과 정적분 | 정적분으로 정의된 함수 | 중 | 객관식 |
| 9번 | 도함수의 활용 | 삼차함수 극솟값 | 중 | 객관식 |
| 10번 | 도함수의 활용 | 롤·평균값 정리 | 상 | 객관식 |
| 11번 | 도함수의 활용 | 방정식의 실근 | 중 | 서술형 |
| 12번 | 부정적분과 정적분 | 도함수 그래프와 부정적분 | 중 | 서술형 |
| 13번 | 정적분의 활용 | 넓이의 최대 | 상 | 서술형 |
| 14번 | 도함수의 활용 | 구간별 함수 극값 | 중 | 서술형 |
| 15번 | 도함수의 활용 | 미분가능성과 절댓값 | 상 | 서술형 |
| 16번 | 도함수의 활용 | 접선과 거리 | 상 | 서술형 |
| 17번 | 도함수의 활용 | 구간별 함수 극값 | 상 | 서술형 |
| 18번 | 도함수의 활용 | 극대·극소와 인수 | 중 | 서술형 |
| 19번 | 도함수의 활용 | 절댓값 방정식 실근 | 중 | 서술형 |
| 20번 | 정적분의 활용 | 정적분과 절댓값 | 중 | 서술형 |