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2024 휘문고 1학년 2학기 기말고사 공통수학2
기출문제·해설

휘문고등학교 2024학년도 2학기 기말고사 공통수학2 전 문항(20문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 함수 · 유리함수와 무리함수 · 순열과 조합 · 합의 법칙과 곱의 법칙

📍 서울 강남구📅 2024 · 2학기 기말고사∑ 공통수학2📝 20문항 (객관식 10 · 서술형 10)

출제 단원

1번유리함수와 무리함수유리식 항등식하

$x\ne-2$, $x\ne1$인 모든 실수 $x$에 대하여 등식
$$\frac{2}{x-1}+\frac{a}{x+2}=\frac{6x+b}{x^2+x-2}$$
가 항상 성립할 때, 두 상수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값은?

① $2$

② $4$

③ $6$

④ $8$

⑤ $10$

정답 ② · 해설

Step 1. 좌변 통분하기

$x^2+x-2=(x-1)(x+2)$이므로 좌변의 분자는 $2(x+2)+a(x-1)=(a+2)x+4-a$이다.

Step 2. 계수 비교하기

$(a+2)x+4-a=6x+b$가 항등식이므로 $a+2=6$, $4-a=b$에서 $a=4$, $b=0$이다.

$a+b=4$

따라서 정답은 ②이다.

2번유리함수와 무리함수무리식 유리화하

$x>2$인 모든 실수 $x$에 대하여 등식
$$\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+2}+\sqrt{x-2}}=ax+b\sqrt{x^2-4}$$
가 항상 성립할 때, 두 상수 $a$, $b$에 대하여 $a+b$의 값은?

① $-1$

② $-\dfrac{1}{2}$

③ $0$

④ $\dfrac{1}{2}$

⑤ $1$

정답 ③ · 해설

Step 1. 분모 유리화하기

분모·분자에 $\sqrt{x+2}-\sqrt{x-2}$를 곱하면 분모는 $(x+2)-(x-2)=4$이다.

Step 2. 분자 전개하기

$(\sqrt{x+2}-\sqrt{x-2})^2=2x-2\sqrt{x^2-4}$이므로 좌변 $=\dfrac{x}{2}-\dfrac12\sqrt{x^2-4}$이다.

Step 3. $a+b$ 구하기

$a=\dfrac12$, $b=-\dfrac12$이므로 $a+b=0$이다.

따라서 정답은 ③이다.

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