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2024 휘문고 2학년 2학기 중간고사 미적분Ⅰ
기출문제·해설

휘문고등학교 2024학년도 2학기 중간고사 미적분Ⅰ 전 문항(20문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 함수의 연속 · 함수의 극한 · 미분계수와 도함수 · 도함수의 활용

📍 서울 강남구📅 2024 · 2학기 중간고사∑ 미적분Ⅰ📝 20문항 (객관식 10 · 서술형 10)

출제 단원

1번함수의 극한∞/∞꼴 극한하

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{5+x}{\sqrt{4x^2+9}}$의 값은?

① $-\dfrac{5}{2}$

② $-\dfrac{1}{2}$

③ $0$

④ $\dfrac{1}{2}$

⑤ $\dfrac{5}{2}$

정답 ② · 해설

Step 1. $x=-t$로 치환하기

$x\to-\infty$이면 $t\to\infty$이고 $\sqrt{4x^2+9}=\sqrt{4t^2+9}$이다.

Step 2. 극한 계산

$\displaystyle\lim_{t\to\infty}\frac{5-t}{\sqrt{4t^2+9}}=\lim_{t\to\infty}\frac{\frac5t-1}{\sqrt{4+\frac9{t^2}}}=-\frac12$

따라서 정답은 ②이다.

2번함수의 연속연속과 미정계수하

모든 실수 $x$에서 연속인 함수 $f(x)$가
$$(x-1)f(x)=ax^2+bx,\quad f(2)=6$$
을 만족시킬 때, $f(1)$의 값은? (단, $a$, $b$는 상수)

① $1$

② $2$

③ $3$

④ $4$

⑤ $5$

정답 ③ · 해설

Step 1. $a$, $b$의 관계 구하기

$x=1$을 대입하면 $0=a+b$이므로 $b=-a$이다.

Step 2. $f(x)$ 구하기

$x\ne1$일 때 $f(x)=\dfrac{ax(x-1)}{x-1}=ax$이고 $f(2)=2a=6$이므로 $a=3$이다.

Step 3. $f(1)$ 구하기

$f$가 $x=1$에서 연속이므로 $f(1)=\displaystyle\lim_{x\to1}3x=3$이다.

따라서 정답은 ③이다.

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