2024 휘문고 2학년 1학기 기말고사 미적분Ⅱ
기출문제·해설
휘문고등학교 2024학년도 1학기 기말고사 미적분Ⅱ 전 문항(18문항)과 단계별 해설, 기출 변형문항을 무료로 제공합니다. 도함수의 활용 · 여러 가지 적분법 · 정적분의 활용 · 여러 가지 미분법
📍 서울 강남구📅 2024 · 1학기 기말고사∑ 미적분Ⅱ📝 18문항 (객관식 10 · 서술형 8)
문제 미리보기 (2문항)
1번여러 가지 적분법정적분 계산하
$\int_0^{\pi}(e^x+\sin x)\,dx$의 값은?
① $e^{\pi}$
② $e^{\pi}+1$
③ $e^{\pi}+2$
④ $e^{\pi}+3$
⑤ $e^{\pi}+4$
정답 ② · 해설
Step 1. 부정적분 구하기
$\int(e^x+\sin x)dx=e^x-\cos x+C$
Step 2. 정적분 계산
$(e^{\pi}+1)-(1-1)=e^{\pi}+1$
따라서 정답은 ②이다.
2번도함수의 활용접선의 방정식하
곡선 $y=3+\tan 2x$ 위의 점 $(0,\ 3)$에서의 접선을 $l$이라 하자. 직선 $l$이 $x$축과 만나는 점을 $\mathrm{A}$, $y$축과 만나는 점을 $\mathrm{B}$라 할 때, 삼각형 $\mathrm{OAB}$의 넓이는? (단, $\mathrm{O}$는 원점이다.)
① $\frac{1}{4}$
② $\frac{3}{4}$
③ $\frac{5}{4}$
④ $\frac{7}{4}$
⑤ $\frac{9}{4}$
정답 ⑤ · 해설
Step 1. 기울기 구하기
$y'=2\sec^2 2x$이므로 $x=0$에서 기울기는 2이다.
Step 2. 접선과 절편 구하기
$l: y=2x+3$이므로 $\mathrm{A}\left(-\frac32,0\right)$, $\mathrm{B}(0,3)$이다.
Step 3. 넓이 구하기
$\frac12\cdot\frac32\cdot3=\frac94$
따라서 정답은 ⑤이다.
문항 구성
| 1번 | 여러 가지 적분법 | 정적분 계산 | 하 | 객관식 |
| 2번 | 도함수의 활용 | 접선의 방정식 | 하 | 객관식 |
| 3번 | 정적분의 활용 | 평면 위 움직인 거리 | 중 | 객관식 |
| 4번 | 도함수의 활용 | 변곡점 | 중 | 객관식 |
| 5번 | 정적분의 활용 | 두 곡선 사이 넓이 | 중 | 객관식 |
| 6번 | 여러 가지 적분법 | 치환·부분적분 | 중 | 객관식 |
| 7번 | 도함수의 활용 | 그래프 개형 보기 | 상 | 객관식 |
| 8번 | 정적분의 활용 | 입체도형의 부피 | 상 | 객관식 |
| 9번 | 도함수의 활용 | 정적분 함수 극값 | 상 | 객관식 |
| 10번 | 도함수의 활용 | 정적분 함수 미분 | 중 | 객관식 |
| 11번 | 도함수의 활용 | 역함수 존재 조건 | 중 | 서술형 |
| 12번 | 여러 가지 적분법 | 치환적분 | 중 | 서술형 |
| 13번 | 여러 가지 미분법 | 매개변수 미분법 | 중 | 서술형 |
| 14번 | 여러 가지 적분법 | 정적분과 급수 | 상 | 서술형 |
| 15번 | 여러 가지 적분법 | 적분과 미분 | 상 | 서술형 |
| 16번 | 도함수의 활용 | 정적분 함수 최솟값 | 상 | 서술형 |
| 17번 | 정적분의 활용 | 곡선과 직선 넓이 | 상 | 서술형 |
| 18번 | 도함수의 활용 | 최대·최소 | 중 | 서술형 |